"La théorie du chaos et les fractales", par Rodolphe Sarrouf et Paul-Eric Langevin (2014)

"La théorie du chaos et les fractales" 



Intervention de Rodolphe Sarrouf

Notes et bibliographie par Paul-Eric Langevin 



24 février 2014

       Le chaos : ce sont des systèmes très complexes qui échappent en général au physicien mais qui peuvent se comprendre. Il y a émanation d’un même principe, d'une multiplicité en soi dont on voit la structure. Il s'agit de la recherche d’invariants. La notion importante à comprendre est l'extrême sensibilité de ces systèmes aux conditions initiales, il y a parfois divergence extrême selon les conditions initiales, et alors une interdiction de toute prédictibilité, la divergence des comportements à l’infini. Les systèmes qu’on apprend et qu’on étudie en général sont réguliers, périodiques, ce sont des systèmes permanents. Le pendule, dans l'approximation des petites oscillations, est linéaire, mais dans le cas général, c'est un système non linéaire. 

C’est un héritage culturel, celui d'Isaac Newton, qui nous fait penser à la régularité du système solaire, à sa stabilité périodique. Le système solaire est en réalité complètement chaotique, selon les ordres de grandeur, d'autres échelles de temps, on ne sait pas à quoi il ressemblera par la suite, c’est une question d’échelle, le problème des trois corps a été étudié par Henri Poincaré. On ne sait pas comment le système va finir dans un temps infini. Il y a une hypersensibilité infinitésimale aux conditions initiales, à long terme, on a une divergence des comportements. 3 secondes, 10 secondes,… jusqu'à la fin. 

La météorologie ne peut être prévue à plus de 7 jours. Les deux notions importantes sont : l'hypersensibilité aux conditions initiales, l'invariance d’échelle selon Benoit Mandelbrot, certaines figures donnent un pouvoir de description de la réalité. La géométrie fractale : c’est l'étude de l’invariance d’échelle, on voit constamment le même motif. Edward Lorenz, météorologue et mathématicien dans les années 70, travaille sur les comportements chaotiques dans le domaine de la météorologie. Il y a en fait beaucoup de parallèles entre chaos et fractales, comme on le découvre par la suite ; James Yorke, dans les années 70, sous l’impulsion des travaux d'Edward Lorenz datant de 1963, commence à parler du chaos. Une réunion de physiciens a lieu à Los Alamos, on y traite de la bombe atomique, mais aussi de physique atomique, de physique des particules. 

Edward Lorenz voulait étudier la météorologie, utilisait un ordinateur, c'était un physicien un peu marginal. Il a constaté la complexité des systèmes, modélisé un système hyper simplifié de l’atmosphère, avec trois décimales après la virgule. Ce qu’il obtenait selon les cas était complètement divergent selon le nombre de décimales après la virgule. Les variables étudiées sont le temps plus la pression atmosphérique, ou le volume, ou la température. Il n’y avait pas de problème informatique, il y avait peut-être quelque chose d’autre au sein des données, dans le problème. Edward Lorenz reprend les idées d’Henri Poincaré, datant de la fin du XIXème siècle. 

Pour Isaac Newton : le problème à deux corps a été résolu, il s’est posé la question du problème des trois corps, approfondi par la suite par Henri Poincaré au XIXème siècle, en calculant les orbites des trois corps ; à chaque calcul, c’est une nouvelle orbite, le corps ne repasse jamais sur la même orbite. Il y a création d'attracteurs dits attracteurs étranges, une description à l’infini de nouveaux états est faite. Il y avait un rapport avec les objets de dimension fractionnaire étudiés plus tard par Benoit Mandelbrot, comme l'éponge de Menger-Sierpinski, l'ensemble triadique de Cantor, etc. Le volume tend vers zéro mais la surface tend vers l’infini. De deux dimensions, on passe à trois dimensions. La dimension exacte est fractionnaire, d'où l'appellation de fractales. Les notions étudiées sont les objets, les volumes, la quantité de matière. Les fractales sont nées de l’observation du concret, d'une surface qui tend vers l’infini et d'un volume qui tend vers zéro, la dimension est bien supérieure à 2 et inférieure à 3. Il y a une structure interne que l’on ne voit pas. 

Il y a hypersensibilité aux conditions initiales, mais aussi invariance d’échelle, autosimilarité des formes fractales. Dans l'ordre, on a les travaux de Henri Poincaré, Jacques Hadamard, Edward Lorenz, James Yorke, puis de Benoit Mandelbrot. Chaque orbite ne repasse pas sur les mêmes lignes, il y a analogie avec les volumes pas complètement pleins, de dimension comprise entre 2 et 3, et les orbites chaotiques qui ne remplissent pas complètement l’espace, qui sont donc aussi de dimension comprise entre 2 et 3. Les orbites ne repassent jamais sur leurs anciens parcours, elles sont confinées dans un tore, il vient alors un problème d’imprédictibilité ; si on trace un ensemble d’orbites, on doit calculer le résultat pour le voir, ce sont des systèmes non linéaires donc imprédictibles par des méthodes analogiques mais seulement par des méthodes numériques. Si on étudie des équations différentielles d’ordre 1 : si on ne trace plus, on sait comment ça va évoluer. Ici on ne peut pas prédire, on doit faire le calcul. On étudie alors des équations différentielles non linéaires couplées, on ne peut faire que du calcul numérique ; dans un tore, il y a une infinité d’orbites. 

L'idée est déployée par Mandelbrot dans la théorie des fractales ; on peut faire un parallèle avec les géométries non euclidiennes construites par Carl Friedrich Gauss, Janos Bolyai, Nikolai Lobatchevsky, Bernhard Riemann. Si deux droites parallèles se coupent en un même point, la géométrie est alors sphérique, ou hyperbolique, c'est-à-dire en selle de cheval. Les postulats de la géométrie euclidienne ne sont valables que pour la géométrie euclidienne. Mais ces géométries non euclidiennes restaient des géométries classiques, pas aussi proches de la réalité que les géométries fractales. Benoit Mandelbrot se pose la question de la longueur d’une côte, de la distance entre un point et un autre d'une côte. La réponse est: ça dépend de l'échelle où on se place. Si on se place sur un satellite, sur la plage, au niveau d’une fourmi, ça diffère. La notion importante est l'invariance d’échelle, les systèmes chaotiques sont apériodiques, il n'y a aucune régularité. 

Une question importante est celle de la beauté de la nature dans l’irrégularité ou dans la régularité. Avec l'invariance d’échelle, tout est relatif à l’échelle, il n’y a pas de longueur de la côte de Bretagne en soi. Comment appréhende-t-on un motif selon là où on se place ? Par exemple, Les antennes dans les téléphones portables ont des formes fractales, sont des surfaces du type de l’éponge de Menger-Sierpinski.

Eponge de Menger-Sierpinski

 

L’arbre de l’évolution devient actuellement le buisson de l’évolution. Ce sont les mêmes motifs qui se reproduisent à l’échelle en dessous. Les orbites des planètes ne repassent pas par le même endroit. Henri Poincaré prend une section droite du tore et regarde la figure que cela donne. C’est une figure fractale. C’est l’espace des phases qui est étudié, la position et la vitesse des planètes sur un graphe. On peut étudier en général le couple temps-position, le couple temps-vitesse, mais aussi le couple position-vitesse, c’est-à-dire l’espace des phases. Ou bien les trois variables position-vitesse-accélération. Un point dans le système, c’est un changement d’état par rapport à un point précédent. On obtient une visualisation du système au cours du temps. Si le système est périodique, c’est un cercle ou un point. Si le système n’est ni mobile ni périodique, on obtient un espace des phases qui est fractal, un attracteur étrange. 

Le problème des seaux qui se situent sur une roue et qui se remplissent d'eau a aussi été étudié par Edward Lorenz : à partir d’un moment, le système devient chaotique, il se dérègle. Ce sont des seaux troués qui donnent un système chaotique. Il y a un compromis qui s'établit entre l’eau qui rentre et l’eau qui sort. On obtient le même genre d’espace des phases que dans les autres systèmes chaotiques. Ce n’est plus une simple courbe fermée mais une nouvelle orbite, qui ne repasse pas sur les anciennes, donc il y a création d’un attracteur.

Attracteur de Lorenz

Le passage d’une aile de l’attracteur à l’autre correspond à un sens et un autre de la roue. Quand on prend une section de Poincaré, on obtient quelque chose qui ressemble à une figure fractale. Un problème important est celui du rapport entre physique et mathématiques dans ce domaine. Le problème étudié est aussi celui des transitions de phase, un système qui passe d’un état magnétique à un autre, il change d’état, la frontière entre deux phases d’un système peut être une frontière fractale. 

Le comportement des suites peut être chaotique, en physique, en économie, en démographie des populations. Il existe des équations qui décrivent l'évolution, accroissement ou diminution des populations. Ce sont les équations de Lotka-Volterra, du nom d'Alfred James Lotka et Vito Volterra. Les valeurs des courbes représentant les populations sont stables puis deviennent instables au fur et à mesure des années, selon un paramètre R, périodiques de période 4 puis complètement apériodiques. On ne peut plus prédire ce qu’on va avoir par la suite. Il y a alternance de moments périodiques et non périodiques. Rien n’est définitif mais c’est influencé par certains paramètres. La parabole introduite par Edward Lorenz est celle du battement d’aile du papillon en Asie qui crée une tempête en Amérique, d'où le nom d'effet papillon.

Exposé par Rodolphe Sarrouf 

Notes et bibliographie par Paul-Eric Langevin 

Collectif El Quatro, 2014.


Diagramme de bifurcation de l'équation logistique
                                                                                    

Appliquer la théorie du chaos à l'environnement?, article publié dans le Monde (en bas à gauche), fourni par Emile Gayoso

Livres sur les fractales en français:

*Benoit Mandelbrot, «Les objets fractals : forme, hasard et dimension», Flammarion, 1973

*Benoit Mandelbrot, «Fractales, hasard et finance», Flammarion, 1997

*Benoit Mandelbrot, «Une approche fractale des marchés», Odile Jacob, 2005

*Benoit Mandelbrot, «La forme d’une vie, mémoires 1924-2010», Flammarion, 2014

*Bernard Sapoval, «Universalités et fractales», Flammarion

*Jean-François Gouyet, «Physique et structures fractales» (disponible en ligne)  

Livres sur la théorie du chaos en français:

*James Gleick, «La Théorie du Chaos», Champs Flammarion, 1991  *David Ruelle, «Hasard et chaos», Odile Jacob, 1991

*Amy Dahan, Karine Chemla, «Chaos et déterminisme», Point Sciences, 1992

*Ivar Ekeland, «Le Chaos», 1995 (1^ère édition), 2006 (2^ème édition)



Articles sur les fractales en français : 

*Itération des polynômes quadratiques complexes, par Douady et Hubbard
*Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire, par Helge Von Koch
*Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes, par Helge Von Koch
*Sur une courbe qui remplit une aire plane, par Giuseppe Peano
*Les fractales, par Bernard Sapoval

Articles sur la théorie du chaos en français (disponibles en ligne): 

*Chaos, imprédictibilité et hasard, par David Ruelle

*Le chaos et l’occident, par François Lurçat

*De quelques enjeux philosophiques du phénomène du chaos, par Eric Bois

*Débat sur le chaos, avec Bernard d’Espagnat, Basarab Nicolescu, Jean Bricmont, François Lurçat,…

*L’attracteur de Lorenz, paradigme du chaos, par Etienne Ghys

*Etude des populations : un exemple de chaos déterministe, par Philippe Etchecopar

Articles sur les fractales en anglais (disponibles en ligne):

1) Articles de Benoit Mandelbrot

*A new model for the clustering of errors in telephone circuits,  par J.M. Berger et Benoit Mandelbrot

*On fractal geometry and a few of the mathematical questions it has raised, par Benoit Mandelbrot

*Towards a second stage of indeterminism in science, par Benoit Mandelbrot

2) Article de Claude Shannon

*The mathematical theory of communication, par Claude Shannon

3) Autres articles

*Computer recreations, par A.K. Dewdney

*Fractals, where is the physics?, par Leo Kadanoff

*Fractal basin boundaries, par Macdonald, Grebogi, Ott et Yorke

*Fractal dimension in human cerebellum measured by magnetic resonance imaging, par Liu, Zhang et Yue

*The fractal geometry of faults and faulting, par Scholtz et Aviles

*Fractal growth processes, par Leonard Sander

*The geometry and pigmentation of seashells, par S. Coombes *Iterated function systems and the global construction of fractals, par Barnsley et Demko

*Julia sets and the Mandelbrot set, par Adrien Douady

*Modeling fractal structure of city size distributions using correlation functions, par Yanguang Cheng

*On a mechanism of cardiac electrical stability, the fractal hypothesis, par Goldberger, Bhargava, West et Mandell    

Articles sur la théorie du chaos en anglais (disponibles en ligne):

1) Histoire de la théorie du chaos

*Writing the history of dynamical systems and chaos : longue durée and revolution, disciplines and cultures, par David Aubin et Amy Dahan-Dalmedico     

2) Article de Norbert Wiener

*Non linear prediction and dynamics, par Norbert Wiener 

3) Article de Metropolis, Stein et Stein

*On finite limit sets for transformations on the unit interval, par Metropolis, Stein et Stein

4) Articles d’Edward Lorenz

*Deterministic non periodic flow, par Edward Lorenz

*Irregularity, a fundamental property of the atmosphere, par Edward Lorenz

*Large-scale motions of the atmosphere : circulation, par Edward Lorenz

*The mechanics of vacillation, par Edward Lorenz

*On the prevalence of aperiodicity in simple systems, par Edward Lorenz

*The predictability of hydrodynamic flow, par Edward Lorenz

*The problem of deducing the climate from the governing equations, par Edward Lorenz

5) Article de Steve Smale

*Differential dynamical systems, par Steve Smale

6) Article de Michel Hénon

*A two dimensional mapping with a strange attractor, par Michel Hénon

7) Articles de David Ruelle et Floris Takens

*Detecting strange attractors in turbulence, par Floris Takens *Deterministic chaos, the science and the fiction, par David Ruelle

*Note concerning our paper on the nature of turbulence, par David Ruelle et Floris Takens

*On the nature of turbulence, par David Ruelle et Floris Takens

8) Articles de Mitchell Feigenbaum

*Quantitative universality for a class of non linear transformations, par Mitchell Feigenbaum

*The universal metric properties of non linear transformations, par Mitchell Feigenbaum

*Universal behavior in non linear systems, par Mitchell Feigenbaum

9) Article de Hao Bai Lin

*Chaos, par Hao Bai Lin             

10) Article de Predrag Cvitanovic

*Universality in chaos, par Predrag Cvitanovic

11) Autres Articles sur le chaos                        

*A computer assisted proof of the Feigenbaum conjectures, par Oscar Lanford

*A moment equation description of magnetic reversals in the earth, par K.A. Robbins

*Bifurcations and dynamic complexity in simple ecological models, par Robert May et George Oster

*Biological populations with non overlapping generations, stable points, stable cycles and chaos, par Robert May

*Bright light resets the human circadian pacemaker independent of the timing of the sleep wake cycle, par Czeisler, Allan, Strogatz, Ronda, Sanchez, Rios, Freitag, Richardson et Kronauer

*Bursting, beating and chaos in an excitable membrane model, par Teresa Ree Chay et John Rinzel

*Chaos at fifty, par Adilson Motter et David Campbell

*Chaos in ecological systems : the coals that Newcastle forgot, par W.M. Schaffer et M. Kot

*Chaotic behavior and the origin of the 3/1 Kirkwood gap, par Jack Wisdom

*Chaotic hyperjerk systems, par Chlouverakis et Sprott

*Dynamics, the geometry of behavior, part I : periodic behavior *Experimental mathematics, the role of computation in non linear science, par David Campbell, Jim Crutchfield, Doyne Farmer et Erica Jen

*Finite amplitude free convection as an initial value problem, par Barry Saltzmann

*Flow regimes in a circular Couette system with independently rotating cylinders, par David Andereck, S.S. Liu et Harry Swinney

*Geometry from a time series, par Packard, Crutchfield, Doyne Farmer et Shaw

*Gonorrhea transmission dynamics and control, par Herbert Heathcote et James Yorke

* Instabilities and pattern formation in crystal growth, par J.S. Langer

*Managing chaos, par Hübler, Foster et Phelps

*Medium term prediction of chaos, par Chris Strelioff et Alfred Hübler

*Non linear forecasting as a way of distinguishing chaos from measurement errors in time series, par George Sugihara et Robert May

*On determining the dimension of chaotic flows, par Froehling, Crutchfield, Doyne Farmer, Packard et Shaw

*Onset of turbulence in a rotating fluid, par Jerry Gollub et Harry Swinney

*Oscillation and chaos in physiological control systems, par Michael Mackey et Leon Glass

*Period three implies chaos, par Tien Yen Li et James Yorke

*Phase locking, period doubling bifurcations and irregular dynamics in periodically stimulated cardiac cells, par Guevara, Glass et Shrier

*Random phenomena resulting from non linearity in the system described by Duffing’s equation, par Yoshisuke Ueda

*Scaling for external noise at the onset of chaos, par Crutchfield, Nauenberg et Rudnick

*Simple mathematical models with very complicated dynamics, par Robert May

*Strange attractors, chaotic behavior and information flow, par Robert Shaw

*Stretching and folding in lynx fur returns : evidence for a strange attractor in nature?, par William Schaffer

*The dimension of chaotic attractors, par Doyne Farmer, Ott et Yorke

*The immune system, adaptation and machine learning, par Doyne Farmer, Packard et Perelson

*The second law, par P.W. Atkins

*Universal properties of maps on an interval, par Collet, Eckmann et Landford

*The unpredictable bouncing rotator, a chaology tutorial machine, par Michael Berry

*What are the new implications of chaos for unpredictability?, par Charlotte Werndl

Autres

   
*On the perception of incongruity, a paradigm, par Jerome Bruner et Leo Postman
*Understanding biological computation, reliable learning and recognition, par Hogg et Huberman